最近突然对德州扑克产生了兴趣。
作为一个筹码游戏，德州扑克和大部分同类游戏不同：它并不是一个纯粹靠运气的游戏，甚至从长期的角度看，运气所占的成分并不高，数学和心理学才是主导长期胜负的主要因素，技巧性很强。而这其中和数学相关的概率让我感到非常有意思，但翻了翻网上的文章，发现好多有意思的概率问题却没被讨论过或没被讨论充分，于是手痒写下了这篇文章。
0 预备知识：德州扑克中的大小判定
这部分是帮助完全不懂规则的菜鸟用 2 分钟时间快速了解大小判定，以便于理解文章后面内容的，老鸟们可以直接跳过。
德州扑克通常由 2~10 人参加，比赛分为 4 个阶段：
翻牌前（pre-flop）：每个人起手 2 张暗牌，第 1 轮下注；翻牌圈（flop）：牌桌上同时翻出 3 张公共牌，第 2 轮下注；转牌圈（turn）：牌桌上翻出第 4 张公共牌，第 3 轮下注；河牌圈（river）：牌桌上翻出第 5 张公共牌，第 4 轮下注。最后，每个入局者在自己的 2 张暗牌+ 5 张公共牌共 7 张牌，选出 5 张最大的牌进行比较，牌大者赢下底池。
牌型大小如下：

德州扑克的牌型大小比较先比牌型、再比点数，如果全部一样大（注1：不同花色无大小之分），则平分底池。


预备知识就写到这里，下面进入正文。


1 翻牌前最遥远的距离：哪两组牌单挑时，翻前胜率差最悬殊？
这本该是德扑中最基本的概率知识，但目测知道的人并不多。
有一些人会不假思索地说：当然是 AA 和 72o 了！（注2：o=off-suited，不同花色世界赌场名单，类似地，s=suited，同花色） 理由是，AA是翻前最大的牌，72o是翻前最小的牌，最大牌遇到最小牌，胜率当然悬殊了。
这句话犯了 3 个错误。
错误1：72o 不是单挑中最小的牌毋容置疑，AA是翻前最大的牌，而 72o 确实很小，没有包含这两张牌的顺子，但它不是最小的牌。
比如， 72o vs 随机牌 单挑，总计有 25,170,868,800 种情况（注3：这是一个简单的排列组合问题 25,170,868,800= 4*3*50!/48!/2!*48!/43!/5!），其中「胜」7,981,752,972 种，「和」 1,446,503,040 种，「负」15,742,612,788 种，如果「和」算 1/2 个「胜」，那么 72o 的胜率是 34.584%，这是所有起手牌中第 2 小的牌型。
最小的牌型其实是 32o。
虽然成为顺子的可能性较大，但由于 3 实在是太小了， 32o vs 随机牌 单挑的胜率只有 32.303%，是单挑中最小的牌。
错误2：AA 并不是单挑最小牌的胜率最高AsAh vs 7s2h （注4：s=spade，黑桃；h=heart，红心；c=club，草花；d=diamond，方块），胜率是 88.976%，比 AA vs 随机牌的胜率（85.204%）确实要高不少。
而 AsAh vs 3s2h 的胜率是 87.968%，因此，虽然说 32o 比 72o 更小，但是其对 AA 的胜率还是要比 72o 高一些的。
稍微有些经验的人会说：单挑中最悬殊的情况不是 大对子 vs 二小牌，当对方有一张牌和你相同、另一张牌比你小的时候，他的胜率更低。
AA vs 72o 时，72o 或许可以靠三条 7、三条 2 或 72 两对来取胜，但 AA vs A2o 时，A2o 不可能通过 A 取胜（因为对方有两个 A），这就少了两种取胜方式（三条 A、A2 两对），最常见的取胜方法是三条 2。
事实上也确实如此，比如， AsAh vs Ac2s 的胜率为 93.506%，明显要高得多。
但毕竟 A2o 还可以期待一下 A2345 的顺子，所以对 AA 来说， A2o 不是最小的牌。
事实上，对 AA 来说，最小的牌是 A9o，尽管 A9o 已经是单挑前 18.6% 的大牌（单挑胜率 60.773%），但是对于 AA 来说，它就是最差的牌——AsAh vs Ac9s 的胜率高达 94.080%！（注5：为什么 A9o 比 A8o 胜率更低？因为 A8o 可以期待 89TJQ 的顺子，但是 A9o 却无法靠 9TJQK 的顺子取胜）
错误3：单挑中最悬殊的对比中，并无一方是 AA毋容置疑，AA 是单挑中最大的牌，但由于当对手是 A2o~A5o 时，可以期待一下 A2345 的顺子，所以胜率并不是特别低。
与此同时，虽然 KK 比 AA 小，但当对手一张是K，另一张是小牌时，它就通过小牌组成顺子的概率就会低得多，毕竟需要补充四张牌啊。
因此，最悬殊的单挑对比就昭然若揭了：
KsKh vs Kc2s，胜率高达 94.923%！


2 翻牌前：两高牌 vs 小对子，谁更强？
众所周知，AKs 是很大的牌，在单挑时，它的胜率只比 88+ 低（注6：88+，即 88 / 99 / TT / JJ / QQ / KK / AA），是第 8 大的牌。但事实上，它面对随机牌的胜率只有 67.045%，也就是说，平均 3 盘就会输一盘。
更让人惊讶的是，如果对手是口袋对，即使是最小的对子， AKs 也并没有优势。
比如，对 AsKs 来说最小的对子：2c2d ，在面对 AsKs 时竟然也有 49.916% 的胜率，基本是五五开。
事实上，再小的口袋对，在面对两张高牌时，都不会害怕。
高牌在面对口袋对能取得的最高胜率仅仅是 53.979% （JsTs vs 2c2d）。
但小对子其实也不大。
比如 22，在面对随机牌的胜率也不过 50.334%，竟然没比面对 AKs 时高多少。


事实上，两高牌 vs 小对子的特性比较，可以从 22 和 AKs 的对比中窥探一番：


【22】
被所有的口袋对完克（胜率 17.115%~20.247% ）
克制有一张2的对手（62.036%~67.520%）
和所有的非口袋对五五开（胜率 46.021%~54.315% ）

【AKs】
被 AA 完克（胜率 12.141%）
被 KK 克制 （胜率 34.106%）
和其他口袋对五五开（胜率 45.883%~50.084%）
对 AKo 优势很小（胜率 52.492%）
克制所有比它小的两张（胜率 61.248%~70.440%）
完克有一张是 A 或 K 的其他牌型（胜率 70.743%~78.591%）

而且，在多人对局时，22 的胜率其实很低，甚至不如平均值，但 AKs 的胜率却可以很好的保持：

不同人数入局时时，AKs 和 22 的胜率对比下表给出了不同入局人数时，各牌型翻牌前的胜率（前20名）（其中 2 人局为穷举，3~6 人局用蒙特卡洛法模拟，可能至多会有万分之三左右的误差），从表中可见，入局人数增多，同花色高牌的胜率排名会上升，而口袋对的胜率排名会下降，不同花色高牌的胜率排名基本不变。



不同人数下各牌型翻牌前胜率（前20名）

3 翻牌后：落后方的最大翻盘率是多少？
德州扑克中，有没有可能，在翻牌后你处于落后，但是你却有超过 5 成的机会翻盘？
答案当然是肯定的。而且作为一个有意思的对比，你的翻盘率甚至比翻牌前 AsKs vs 7c2d 的胜率（69.303%）更高。
这会是两组什么样的牌型呢？
根据经验，落后方的翻牌机会可能主要有：自己有机会组成对子、三条、顺子、同花，最好是已经听花（注7：差一张牌成为同花）、两头听顺（注8：已经有4张连牌，两头都可以组成顺子）。
与此同时，对手的牌应该不太大，虽然依然有机会组成对子和三条，但最好是失去了组成了顺子或者同花的机会。
事实上，这个问题有很多组答案，其中的一组答案是：
9c8d vs 6s5s，翻牌 4s,3s,3h。
目前前者领先，但是 后者的胜率高达 71.616%。
（注9：总计 45!/2!=990 个结果，后者 682 胜 54 平 254 负）


显然，可以让后者赢的牌太多了，只要击中 7、2 或者黑桃就可以必胜，击中 6 或 5 而不击中 9 或 8 也能赢，而击中 4 和 高牌又可以和，真可谓是「最舒服的落后」。


【未完待续】


---------------------
思考题：在翻牌前，如果对手是 AA ， 我是什么牌（除 AA 外）胜率最高？为什么？


18.12.09 更新
思考题的答案在这里：